domingo, 30 de noviembre de 2008

Pasatiempos: ¿Cómo se construyen estas sucesiones?

Te presentamos un par de sucesiones en las que se trata de que averigües el proceso
que hemos seguido para obtener cada uno de sus términos.


a) u, d, t, c, c, s, s, o, n, d, ...

b) 1, 11, 21, 1 211, 111 221, 312 211, 13 112 221, ...

domingo, 23 de noviembre de 2008

Concurso Estadística

VIII Premios de Estadística

EXTRACTO DE LAS BASES

OBJETIVO
La Consejería de Hacienda, a través de la Dirección General de Estadística, convoca los VIII Premios a la realización de trabajos relacionados con la actividad estadística para alumn@s de los centros docentes no universitarios de Castilla y León.

PARTICIPANTES
Podrán participar en estos premios alumn@s que cursen estudios del segundo ciclo de Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato o Formación Profesional, bajo la dirección y coordinación de un docente del centro.

CONTENIDO DEL TRABAJO
El trabajo tendrá un contenido relacionado con el empleo de la información estadística y una extensión máxima de diez folios a una cara.

PLAZO
El plazo de presentación del trabajo finalizará el 25 de febrero de 2009. El trabajo se remitirá a la siguiente dirección:
Dirección General de Estadística Consejería de Hacienda C/ José Cantalapiedra, 2 47014 Valladolid

Para + información:

ORDEN HAC/1886/2008, de 20 de octubre de 2008

martes, 18 de noviembre de 2008

Solución el acertijo del finde pasado

Quedarán abiertos 15 casilleros. Los que son cuadrados perfectos:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …Éstos solo son divisibles por tres números: el uno, él mismo y su raíz cuadrada. Su estado será: abierto, cerrado, abierto.Los demás números son divisibles por un número par de factores, y por lo tanto, el casillero acabará cerrado.Los cálculos se pueden ver aquí (archivo excel).

lunes, 17 de noviembre de 2008

La sucesión de Fibonacci

Es muy interesante y fácil de obtener. Los dos primeros términos son 1, 1, y a partir
de ellos cada uno de los términos siguientes se forma sumando los dos términos
anteriores. Así, se obtiene:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...


Leonardo de Pisa, Fibonacci (1170-1250)

Una apertura sin prejuicios a otras culturas y otras formas de ver las cosas, puede
aportarnos un gran enriquecimiento y profundización en nuestro propio saber.
Esta es la conclusión que se puede obtener de la vida y obras de Leonardo de Pisa,
más conocido como Fibonacci.


Su padre, Guglielmo Bonaccio (Fibonacci es una contracción de filius Bonacci) era
agente de comercio en un puerto del norte de África y Leonardo, aunque nacido en
Pisa, fue educado inicialmente por maestros árabes que le pusieron al corriente de
los muchos conocimientos matemáticos que poseían, heredados de los griegos a través
de los matemáticos indios.


En 1202 publicó el Liber abaci (Libro del ábaco) que poco tiene que ver, en realidad,
con el ábaco y que constituye, fundamentalmente, una colección de problemas
aritméticos y algebraicos, junto con una apasionada defensa de la superioridad
de los métodos de numeración de los árabes (notación posicional con las nueve cifras,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, más el 0, el céfiro de los árabes, de donde provienen
nuestras palabras cero y cifra).


En los centros europeos de estudios, tales conocimientos apenas se cultivaban ni
apreciaban. Los viajes mercantiles por Egipto, Siria, Grecia, Sicilia, etc... y los contactos
con sus centros de cultura, proporcionan a Leonardo los elementos que le
convirtieron en el matemático más destacado de la Europa medieval.


Un problema sencillo

A Fibonacci se debe la consideración de una sucesión de números famosa e interesante
por mucho motivos, como verás. Así la presenta él mismo en su Liber abaci:


En una granja hay, al principio del año, una pareja de conejos que acaban de nacer. Al
cabo de dos meses, esta pareja está preparada para reproducirse. Produce cada mes una
pareja de conejos que, al cabo de dos meses, está a su vez preparada para empezar a reproducirse,
dando otra pareja cada mes. ¿Cuál es el número de parejas de conejos en la
granja el día quince de cada mes del año?



Lo importante de la sucesión de Fibonacci es, por una parte, que tiene propiedades
matemáticas muy curiosas e interesantes y, por otra, que aparece de modo natural
en las situaciones más diversas.

sábado, 15 de noviembre de 2008

El acertijo del finde

El director de un instituto, el día que comenzó el curso 2002-2003, reunió a todos los alumnos en el estupendo salón de actos y les dijo:

- En el instituto hay 250 alumnos y 250 casilleros.
- En estos momentos están todos cerrados.
- El alumno nº 1 abrirá todos.
- El alumno nº 2 cerrará todos los casilleros pares.
- El alumno nº 3 cambiará el estado de los casilleros 3,6,9,12,... Es decir, el que esté abierto lo cierra y el que esté cerrado lo abre.
- El alumno nº 4 cambiará el estado de los casilleros 4,8,12,16,...
- El alumno nº 5 cambiará el estado de los casilleros 5,10,15,20,... Y así sucesivamente hasta el alumno nº 250.

Después de este entretenido comienzo de curso, ¿cuantos casilleros quedarán abiertos?

domingo, 9 de noviembre de 2008

Matemáticas en París

La sala pi
En París existe el Palais de la Découverte, que tiene una sala dedicada al número pi: la razón existente entre la longitud de una circunferencia y la longitud de su diámetro.Esta Salle pi del Palais de la Decouverte contiene un friso con 707 cifras decimales de dicho número, que fueron calculadas durante más de veinte años por parte de William Shanks: por la mañana calculaba las cifras ("a mano"), y las tardes las repasaba. Lamentablemente, cometió un error, y solamente son correctas las cifras hasta la posición 527, y a partir de dicha cifra todas son erróneas. No obstante, su cálculo supuso un hito entre los años 1873 y 1944, año en el que Ferguson descubrió el error.

video

HISTORIA DEL NÚMERO PI

Cualquier esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia circunferencia solo puede resultar en fracaso. Tal procedimiento sólo puede ser teórico en su naturaleza, e intentar obtener su valor “racional” solo conllevará a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historia en el esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable. Intentar inscribir una línea recta (el diámetro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del mismo) es intentar una alteración a la naturaleza, una alteración imposible que siquiera los ordenadores modernos están en condiciones de realizar.


Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio pero… ¿Puede este vínculo ser considerado como un número “racional”? Es decir: ¿Puede conocerse con exactitud esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones? Sólo desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre “Pi” (de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo), pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal.


A lo largo de la historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los mas antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind, (1700 años antes de nuestra era) nos muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un círculo inscrito en un cuadrado.
La biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios 4(8/9)²; Siddhantas 3,1416; Brahmagupta 3,162277; y en China 3,1724. Sin embargo, como era de esperarse, fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los mas llamativos enigmas a resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Brisón, por la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos.

Después de los trabajos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus Elementos los pasos al límite necesarios y desarrolla el método de exhaución, consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y en mostrar la convergencia del procedimiento.
Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro está comprendida entre 223/71 = 3,14084 y 22/7 = 3,14285.
Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos, de n y 2n lados, relaciones de recurrencia de forma notable, que permiten calcular pi con una aproximación dada; este método de cálculo recibió el nombre de “algoritmo de Arquímedes”.


Con el renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Purbach construye una tabla de senos de 10′ en 10′ y adopta para Pi el valor 377/120 = 3,14666…. Los siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría, bajo el impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que se incluye a Pi con 8 decimales exactos. Adrien Romain (1561-1615) obtiene 15 decimales y Ludolph de Colonia (1539-1610) llega hasta 32. Según su deseo, estos 32 decimales fueron grabados en su tumba, pero en su país la posteridad lo recompensó mucho mejor pues se dio a pi el nombre de “número de Ludolph”.
Pronto la proeza de Ludolph se vió opacada por lo perfeccionamientos logrados por Snell (1580-1626) y Huyghens (1629-1655). El primero halla que el arco x está comprendido entre: 3 sen x /( 2 + cos x) y 1/3.(2 sen x + tg x) mientras que el segundo, cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, da la expresión (sen² x tg x)1/3 Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de los lados. Huyghens, en cambio, calcula Pi con 9 decimales exactos utilizando simplemente el polígono de seis lados.


El cálculo infinitesimal dió fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y mucho mas potentes, separó en cierto modo a Pi de sus origenes geométricos y aclaró el papel fundamental que que juega en todo el análisis matemático. El matemático francés Viete obtuvo, a fines del siglo XVI, la primer fórmula de Pi por medio de un producto infinito convergente que no hace figurar mas que a los número 1 y 2. Gregory en 1670 desarrolla la fórmula del Arco tangente que, para x = 1 da la fórmula de Leibniz:

PI/4 = 1 - (1/3) + (1/5) -…


Como caso particular, cabe mencional a Euler, a quien le debemos la costumbre de designar por Pi a la relación circunferencia : diámetro y quien en 1775 calculó su valor, con 20 decimales, en una hora por medio de la fórmula:
Pi/4 = 5 arc tg 1/7 + 8 arc tg 3/79.

Sin embargo, su mayor descubrimiento es el de un cierto parentesco entre Pi y otros números no menos importantes en la matemática, como lo son el número e, i, como así los lazos que existen entre las funciones circulares seno y coseno, y la función exponencial ex: ésta es periódica y su período imaginario es 2 i Pi.

El mas constante entre todos aquellos que se abocaron al cómputo de Pi fue el matemático inglés William Shanks, quien luego de un arduo trabajo que le demandó nada menos que veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desafortunadamente, Shanks cometió un error en el 528º decimal, y apartir de ése todos los restantes están mal.

En 1949 John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC, y luego de setenta horas de trabajo obtuvo 2037 cifras decimales. Tiempo después, otra computadora consiguió 3.000 decimales en sólo 13 minutos. Hacia 1959, una computadora británica y otra gala lograron las primeras 10.000 cifras. En 1986 David H. Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la Nasa utilizando el algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica. Finalmente, en 1987, Kanada consiguió mas de 100 millones de cifras se podrían conseguir facilmente 2.000 millones de cifras usando en exclusiva un superordenador durante una semana. En resumen, ya es prácticamente posible tantas cifras como se requiera, y el único impedimento aparente es debido al tiempo que un ordenador pueda tardar en conseguirlos.


Lo cierto es que sólo cuatro decimales de Pi con suficiente precisión bastan para las necesidades prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al sol. Si reemplazamos el sol por la nebulosa mas lejana y el cabello por el corpúsculo mas pequeño conocido por los físicos, no harian falta mas que 40 decimales. Entonces ¿Que necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizá ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aún a aceptar cosas que no pueda llegar a comprender, como por ejemplo el infinito.